تقني رياضي/هندسة مدنية/ درس حول الإنحناء المستوي البسيط

تقني رياضي/هندسة مدنية/ درس حول الإنحناء المستوي البسيط

إعداد الأستاذ المهندس: حاج صادوق عبد الحفيظ

الإنجاز التقني: مغني أحمد

مقدمة:

لأن الانحناء هو التأثير الذي تخضع إليه العوارض بكثرة و في جميع الميادين كالميكانيكا، البناءات و البناءات المعدنية، و يتسبب في تشوهاتها، يتطرق إليه المهندس و التقني المختص في هذه المجالات أثناء دراساتهم للمشاريع للقيام بالحسابات الضرورية من اختيار المواد و أشكال العوارض و الأبعاد و ذلك لضمان الظروف الآمنة لأداء الوظيفة.

الأهداف:

معرفة حساب الجهد القاطع.

معرفة حساب عزم الانحناء.

تمثل و استعمال المنحنى البياني للجهود القاطعة و عزوم الانحناء.

حساب إجهاد الانحناء الأقصى.

حساب أبعاد العارضة، و اختيار المادة المناسبة و شكل المقاطع القائمة بتحقيق شرط المقاومة...

حساب تشوه العارضة.

عناصر الدراسة:

تطرقنا في دراستنا هذه إلى الانحناء المستوي البسيط للعوارض المتجانسة المواد و ذات المقاطع العمودية الثابتة، المعرضة إلى قوى مركزة أو موزعة، وفق العناصر التالية:

I ـ عموميات

ـ تعريف

ـ فرضيات

ـ أنواع الارتكازات

IIـ الانحناء المستوي البسيط: قوى مركزة

ـ الجهد القاطع

ـ عزم الانحناء

ـ إجهاد الانحناء

ـ شرط المقاومة

ـ التشوه

ـ تطبيق

IIIـ الانحناء المستوي البسيط: قوى موزعة

ـ تعريف

ـ حمولة موزعة بانتظام

ـ مميزات الحمولة الموزعة

ـ تطبيق

IVـ حساب المقياس التناسبي ( الموديول ) لعجلة أسطوانية ذات أسنان قائمة

Vـ ملحقات

عموميات

1- تعريف:

تكون عارضة خاضعة لتأثير الانحناء، لما يكون تشوهها عبارة عن «حني» خطها المتوسط نتيجة للتأثيرات الخارجية المطبقة عليها.

بتبسيط هذه المؤثرات الخارجية في مقطع قائم ذي مركز ثقل (مر)، نتحصل على شعاعية متكونة من:

تقني رياضي/هندسة مدنية/ درس حول الإنحناء المستوي البسيط 001

تقني رياضي/هندسة مدنية/ درس حول الإنحناء المستوي البسيط 001

: جهد قاطع، مماسي على المقاطع القائمة.

تقني رياضي/هندسة مدنية/ درس حول الإنحناء المستوي البسيط 002

: عزم انحناء

تقني رياضي/هندسة مدنية/ درس حول الإنحناء المستوي البسيط 003

شكل1: تبسيط العناصر في مقطع قائم

2- فرضيــات :

في الانحناء المستوي البسيط نفرض ما يلي:

أ- نمثل الأجسام بعوارض موضوعة على إرتكازين أو مندمجة في أحد طرفيها.

ب- للعارضة مستوى تناظر.

ج- المؤثرات الخارجية مطبقة في مستوى تناظر العارضة و تكون عمودية على الخط المتوسط.

تقني رياضي/هندسة مدنية/ درس حول الإنحناء المستوي البسيط 004

شكل 2: المقاطع العمودية للعارضة

د- تشوهات العارضة تكون مرنة و صغيرة مقارنة بأبعاد العارضة ( نظرية برنولي BERNOULLI).

هـ - المقاطع العمودية تكون و تبقى كذلك قبل و بعد التشوهات.

3- أنواع الارتكازات:

3-1 : ارتكاز بسيط:

الالتماس بين العارضة و الارتكاز يكون وفق مستقيم عمودي على مستوى تناظر .

يمنع الارتكاز البسيط حركة انتقال العارضة وفق المحور (أ ع).

نمثل تأثير الارتكاز (2) على العارضة (1) بقوة تقني رياضي/هندسة مدنية/ درس حول الإنحناء المستوي البسيط 005

تقني رياضي/هندسة مدنية/ درس حول الإنحناء المستوي البسيط 005

عمودية على أب.

تقني رياضي/هندسة مدنية/ درس حول الإنحناء المستوي البسيط 006

شكل 3: ارتكاز بسيط

3-2 : ارتكاز مفصلي:

و يدعى أيضا ارتكاز مزدوج، و يمثل في الواقع محور مفصلي عمودي على مستوى تناظر العارضة.

في حالة خضوع العارضة لقوة مائلة، يكون رد فعل الارتكاز تقني رياضي/هندسة مدنية/ درس حول الإنحناء المستوي البسيط 005

بمركبتين:

تقني رياضي/هندسة مدنية/ درس حول الإنحناء المستوي البسيط 007

و

تقني رياضي/هندسة مدنية/ درس حول الإنحناء المستوي البسيط 008

.

يمنع الارتكاز المفصلي الحركة وفق (أس) و ( أع).

تقني رياضي/هندسة مدنية/ درس حول الإنحناء المستوي البسيط 083

شكل 4: ارتكاز مفصلي

3-3 : الاندمــاج:

يمنع الاندماج كل حركة نسبية بين القطع (1) و (2).

تمثل الاندماج بـ:

- قوة تقني رياضي/هندسة مدنية/ درس حول الإنحناء المستوي البسيط 005

و تكون عمودية على العارضة

- عزم اندماج تقني رياضي/هندسة مدنية/ درس حول الإنحناء المستوي البسيط 009

تقني رياضي/هندسة مدنية/ درس حول الإنحناء المستوي البسيط 010

شكل 5: اندماج

ملاحظة:

في بداية دراسة الانحناء المستوي البسيط، ينبغي معرفة المؤثرات الخارجية المطبقة عليها و ذلك بتحديد ردود الأفعال في الارتكازات أو الاندماج حسابيا أو بيانيا.

الانحناء المستوي البسيط: قوى مركزة

4- الجهد القاطع:

بعد حساب كل المؤثرات الخارجية المطبقة على العارضة، بما في ذلك ردود الأفعال في المرتكزات أو الاندماج، نقوم بحساب الجهد القاطع م في مقطع قائم ذي مركز ثقل « مر» بفاصلة « س ».

يساوي الجهد القاطع الجمع الشعاعي للقوى الخارجية العمودية على الخط المتوسط و الواقعة في نفس الجهة (على يسار المقطع مثلا).

تقني رياضي/هندسة مدنية/ درس حول الإنحناء المستوي البسيط 012

شكل 6: حساب الجهد القاطع في المقطع القائم ذي مركز ثقل مر

تقني رياضي/هندسة مدنية/ درس حول الإنحناء المستوي البسيط 011

نسقط هذه المعادلة على المحور (أع):

م = - أ ق1 - ق2 ق3

5- عزم الانحناء:

يساوي عزم الانحناء في مقطع قائم ذي مركز ثقل مر، الجمع الهندسي لعزوم القوى الخارجية العمودية على الخط المتوسط بالنسبة لـ مر و الواقعة في نفس الاتجاه (على يسار المقطع مثل).

في المثال السابق:

تقني رياضي/هندسة مدنية/ درس حول الإنحناء المستوي البسيط 013

تقني رياضي/هندسة مدنية/ درس حول الإنحناء المستوي البسيط 013

ملاحظة:

بإمكاننا كتابة و حساب الجهد القاطع بدلالة عزم الانحناء في نفس المقطع القائم، حيث:

تقني رياضي/هندسة مدنية/ درس حول الإنحناء المستوي البسيط 014

6- إجهاد الانحناء:

في الانحناء المستوي البسيط، يكون الإجهاد «ناظمي» σ على المقاطع القائمة، و تهمل قيمة الإجهاد المماسي τ.

بيّنت التجارب المنجزة على العينات، بأن الإجهاد الناظمي للانحناء σ في نقطة ج، يكون متناسب مع المسافة ع الحاصلة بين هذه النقطة و الخط المتوسط.

كما لوحظ أثناء التجارب بأن للأشكال الهندسية و أبعاد العارضة في المقاطع القائمة تأثير في قيمة الإجهاد الناظمي σ، حيث:

تقني رياضي/هندسة مدنية/ درس حول الإنحناء المستوي البسيط 015

تقني رياضي/هندسة مدنية/ درس حول الإنحناء المستوي البسيط 016

σج : الإجهاد الناظمي للانحناء في النقطة ج [ن/ملم2].

عز نح : قيمة عزم الانحناء في المقطع القائم المدروس [ن . م].

عترص : العزم التربيعي للمقطع القائم بالنسبة للمحور (مر ص) [ملم4]. (ملحق1)

ع : المسافة من الخط المتوسط إلى النقطة ج [ملم].

ملاحظة:

1- في النقطة مر، ( ع = 0 )، يكون الجهاد معدوم، σمر = 0.

2- في النقاط المتساوية المسافة إلى الخط المتوسط، يكون الإجهاد الناظمي متساوي، σج = σجَ.

3- في النقطتين أ و ب يكون للإجهاد الناظمي للانحناء أقصى قيمة ، ( ع أقصى = ρ )

σأقصى = σأ = σب = ( عزنح / عترص ) . ρ

4- σأ = σب = عزنح / ( عترص / ρ )

تسمى القيمة (عترص / ρ) موديول الانحناء للمقطع القائم [ ملم3].

7- شرط المقاومة:

من أجل اشتغال العارضة في ظروف آمنة، ينبغي على الإجهاد الناظمي الأقصى للانحناء أن يكون أصغر من قيمة تدعى المقاومة العملية (مق ع) .

تقني رياضي/هندسة مدنية/ درس حول الإنحناء المستوي البسيط 017

تحديد قيمة المقاومة العملية:

نحسب المقاومة العملية «مق ع» بدلالة المميزات الميكانيكية الخاصة بمادة العارضة: (ملحق3)

تقني رياضي/هندسة مدنية/ درس حول الإنحناء المستوي البسيط 018

بحيث: مق م : مقاومة المرونة

مق أ : مقاومة الانكسار

a و aَ : معامل أمن.

تحديد القيمة القصوى لإجهاد الانحناء:

نحسب σأقصى في المقاطع القائمة الأكثر تحملا، أين تكون قيمة عزم الانحناء قصوى، و في أبعد نقطة من الخط المتوسط ( ع أقصى = ρ ).

تقني رياضي/هندسة مدنية/ درس حول الإنحناء المستوي البسيط 019

8- التشوه:

في الانحناء المستوي البسيط يقاس تشوه الخط المتوسط بالسهم "ع"، حيث:

تقني رياضي/هندسة مدنية/ درس حول الإنحناء المستوي البسيط 020

عََ : الاشتقاق الثاني ل ع = تا (س).

عز نح: قيمة عزم الانحناء في المقطع المدروس.

عترص : العزم التربيعي للمقطع.

E : معامل المرونة الطولية (أو موديول يونق - Module de YOUNG).

تقني رياضي/هندسة مدنية/ درس حول الإنحناء المستوي البسيط 021

تطبيق:

يمثل الشكل التالي عارضة موضوعة ارتكازين بسيطين " أ " و " ب "، مهملة الثقل.

طول العارضة ل = 4 م و تتحمل قوة في النقطة " ج " ، ق = 3000 ن.

1 ـ لندرس الجهود القاطعة و عزوم الانحناء مع رسم منحنياتها البيانية.

2 ـ لنحسب قيمة σأقصى.

3 ـ احسب السهم عأقصى .

تقني رياضي/هندسة مدنية/ درس حول الإنحناء المستوي البسيط 022

الحل

1- حساب ردود الأفعال في المرتكزات:

العارضة في حالة توازن.

تقني رياضي/هندسة مدنية/ درس حول الإنحناء المستوي البسيط 023

شروط التوازن:

بإسقاط معادلة القوى على (أ ع):

أ – ق ب = 0 ............... (1)

بإسقاط معادلة العزوم:

ق . ل/2 = ب . ل Ü ب = ق / 2 = 3000 / 2 = 1500 ن

من المعادلة (1):

أ = ق – ب = 3000 – 1500 = 1500 ن

تقني رياضي/هندسة مدنية/ درس حول الإنحناء المستوي البسيط 024

2- دراسة الجهود القاطعة:

نجزء العارضة إلى منطقتين.

كل قوة واقعة على يسار المقطع القائم و اتجاهها إلى الأعلى تنتج جهد قاطع سالب.

المنطقة (أ ج):

تقني رياضي/هندسة مدنية/ درس حول الإنحناء المستوي البسيط 026

0 ³ س ³ ل / 2:

لدينا: تقني رياضي/هندسة مدنية/ درس حول الإنحناء المستوي البسيط 025

بالإسقاط:

م1 = - أ = - 1500 ن

تقني رياضي/هندسة مدنية/ درس حول الإنحناء المستوي البسيط 027

المنطقة (ج ب):

تقني رياضي/هندسة مدنية/ درس حول الإنحناء المستوي البسيط 029

ل/2 ³ س ³ ل

تقني رياضي/هندسة مدنية/ درس حول الإنحناء المستوي البسيط 028

بالإسقاط:

م2 = - أ ق

م2= -1500 3000 =1500 ن

تقني رياضي/هندسة مدنية/ درس حول الإنحناء المستوي البسيط 030

3- دراسة عزوم الانحناء:

كل قوة واقعة على يسار المقطع القائم اتجاهها إلى الأعلى تنتج عزم انحناء موجب.

المنطقة (أ ج):

0 ³ س ³ ل / 2 :

عز نح1 = أ . س

لما س = 0 Ü عز نح1 = 0

لما س ل/2 = 2 م Ü عزنح1 = 1500×2 = 3000 ن.م

المنطقة (ج ب):

ل/2 ³ س ³ ل

عز نح2 = أ . س – ق . ( س – ل/2 )

لما س = ل/2 Ü عز نح2 = 1500×2 = 3000 ن.م

لما س = ل Ü عز نح2 = 1500×4 - 3000×2 = 0

3- المنحنيات البيانية:

تقني رياضي/هندسة مدنية/ درس حول الإنحناء المستوي البسيط 031

تقني رياضي/هندسة مدنية/ درس حول الإنحناء المستوي البسيط 032

تقني رياضي/هندسة مدنية/ درس حول الإنحناء المستوي البسيط 033

4- حساب إجهاد الانحناء الأقصى:

تقني رياضي/هندسة مدنية/ درس حول الإنحناء المستوي البسيط 035

sأقصى= ( عزنحأقصى / عتر ص ). r

عزنحأقصى = 3000 ن . م

r= 80/2 = 40 ملم

العارضة مقاطعها مستطيلة كما هو مبين على الشكل

عتر ص = (50×80 3)/12 = 2.13×10 6 ملم4

sأقصى= (3000× 10 3/ 2.13 × 10 6).40= 28.16 ن/ملم2

تقني رياضي/هندسة مدنية/ درس حول الإنحناء المستوي البسيط 034

التحقق من شرط المقاومة:

مادة العارضة هي 355 S ، بمقاومة المرونة مق م = 355 ن / ملم2 ، و بمعامل أمن a = 5 ، نتحصل على :

مق ع = مق م / a = 355/5 = 71 ن/ ملم2

sأقصى = 28.16 ن/ ملم2> مق ع = 71 ن/ ملم2

العارضة تقاوم القوة المطبقة عليها.

5- حساب السهم ع أقصى:

نكتب معادلة السهم بدلالة " س" :

عََ = - عز نح / ( عتر ص . E )

المنطقة (أ ج):

عز نح = أ . س Ü عََ = ( أ . س ) / ( عتر ص . E )

عََ = - ( أ / ( عتر ص . E )) . س

نسمي القيمة : A = - ( أ / ( عتر ص . E ))

نتحصل على : عََ = A . س

بالتكامل نتحصل على: عَ = ( A س2 / 2 ) B

و أيضا: ع = ( A س3 / 6 ) B س C ـ...............(1)

نحدد قيم المجهولين B و C :

لما س = 0 ، ع = 0 ( انعدام التشوه عند الارتكاز ) ، و من المعادلة ( 1 ) : C = 0

لما س=ل ، ع=0 Ü A ل3/ 6 B ل=0 Ü B= - (A ل2)/6

Ü ع = ( A س3 /6 ) – ( A ل2 / 6 ) . س

و بالتعويض:

تقني رياضي/هندسة مدنية/ درس حول الإنحناء المستوي البسيط 036

ملاحظة:

1- ع تبلغ قيمتها القصوى لما عَ = 0 ، أي لما س = ل/2

تقني رياضي/هندسة مدنية/ درس حول الإنحناء المستوي البسيط 037

2- التشوه متناسب مباشرة مع القوى المطبقة و طول العارضة، لهذا ينبغي أخذ هذه العوامل بعين الاعتبار من أجل تحديد قيمة السهم "ع" و ذلك بمضاعفة حوامل أعمدة الآلات مثلا.

3- التشوه متناسب عكسيا مع معامل المرونة الطولية E و العزم التربيعي، و لهذا ينبغي اختيار عوارض بمقاطع مادتها تكون الأبعد ممكن من الخط المتوسط.

» تقني رياضي/ هندسة مدنية/ مميزات وخصائص أتوكاد2009
» تقني رياضي/ هندسة مدنية/ تصميم الخلطات الخرسانية
» تقني رياضي/ هندسة مدنية/ صفات وخصائص مواد البناء
» تقني رياضي/ هندسة مدنية/ دليل التصميم الهندسي للطرق
» تقني رياضي/هندسة مدنية/ تمارين محلولة لا تمنع نفسك.